3變形液滴曳力系數模型

假設液滴體積不變，只在外力作用下液滴表面積發生變化，且液滴不與其他液滴合并，液滴本身也不發生分裂。則液滴會在壓差作用下由球形變成橢球形。

如圖4所示，ds為球形液滴的直徑，m；d為液滴變形后迎風面直徑，m；h為橢球體短軸高度，m。液滴等效直徑比φ為球形液滴直徑與變形后迎風面直徑比，即φ=ds/d。當液滴為橢球形時，其表面積近似為

液滴變形前后體積不變，即ds3=d2h，則液滴變形程度系數為

圖4液滴變形

式中，φ為液滴變形程度系數，為與變形液滴體積相等的等效球形表面積與實際液滴表面積的比值。當氣液相對速度不大時，液滴保持球形，可以利用球形液滴曳力系數計算攜液臨界流量，但是當液滴發生變形以后，曳力系數和液滴迎風面積相應的發生改變，用球形液滴曳力系數計算誤差可能高達30%，對于非球形剛性顆粒，可以應用如下曳力系數表達式進行計算：

式中，μg為氣體動力黏度，Pa·s。從式（8）可知，曳力系數與液滴大小有關。液滴為了保持液滴形狀不產生分裂，最大液滴韋伯數的范圍為20～30，可以表述為

式中，Nw為球形液滴韋伯數；dmax為球形液滴最大直徑，m。

根據Turner模型可以得到球形液滴最大直徑為

4、考慮液滴尺寸和變形影響的攜液臨界模型

氣體攜液滿足的基礎力學條件為向上曳力等于液滴重力，即假設液滴在氣流中受到前后壓差作用，發生變形，變形前后體積不變，則液滴體積和投影面積為

式中，Vd為液滴為球形時的體積，m3。

考慮到攜帶液滴直徑d=dmax時，聯立式（14）、（16）、（17）、（18）得到攜液臨界流速為

式中，vcr為攜液臨界流速，m/s。模型中液滴等效直徑比反映了液滴的變形程度，而變形程度又與液滴尺寸有關，Shi Juntai于2014年給出了液滴厚度（圖4中h）與長度（圖4中d）之間的關系

式中，α為液滴厚度與長度之比。

根據式（6）和式（20），可以得到最大液滴等效直徑比為

聯立界面張力公式（式4）、變形系數公式（式7）、曳力系數公式（式8）、韋伯數公式（式14），攜液臨界流速公式（式19）、等效直徑比公式（式21），若液滴尺寸未知，還需結合最大液滴公式（式15），假設攜液臨界流量和曳力系數初始值分別為Turner模型和0.44，通過方程組隱式迭代求解得到曳力系數和攜液臨界流量。最后得到氣井攜液臨界流量為

式中，qcr為攜液臨界流量，m3/d；Aw為井筒橫截面面積，m2；p為井筒壓力，MPa；Z為偏差因子；T為溫度，K。

5、參數敏感性分析

（1）界面張力對攜液臨界流量影響。如圖5所示為氣體相對密度為0.7，溫度為100℃時，利用新模型計算當界面張力為常數（60 mN/m）和界面張力隨壓力變化時不同壓力下的攜液臨界流速?？紤]界面張力變化的攜液臨界流速要比界面張力為常數時的小，計算精度更高。且隨著壓力的增大，攜液臨界流速的計算精度提高百分比，逐漸從4%上升至12.5%，平均提高了8%。

圖5考慮界面張力影響的攜液臨界流速曲線

（2）液滴尺寸和液滴變形。如圖6所示為壓力15 MPa，溫度50℃時不同液滴尺寸下液滴變形程度、曳力系數的變化趨勢。從中可知，當液滴特別小時（1 mm），等效直徑比及變形程度系數接近1，曳力系數近似0.44，液滴呈球形基本不發生變形；隨著液滴尺寸從1 mm增大到10 mm時，等效直徑比從1減小到0.75，變形程度系數從1減小到0.45，曳力系數從0.44增大到4.3，液滴呈橢球形變形程度逐漸加大。

圖6液滴變形程度及曳力系數曲線

如圖7所示為不同液滴直徑下攜液臨界流速。從中可知，當液滴特別小時（約為1 mm），液滴形變不明顯，所得到的模型與Turner模型相同；隨著液滴變大，液滴變形嚴重，曳力系數增大，攜液臨界流速變小。在一定液滴大小及形狀下，模型簡化為常用的攜液臨界流量模型，例如李閩模型對應的液滴尺寸為8 mm，等效直徑比為0.8，液滴變形程度系數為0.65。

圖7考慮液滴變形的攜液臨界流速

6、模型驗證

利用文獻中介紹的氣井積液實驗數據驗證新模型的準確性，該實驗通過數碼攝像機捕捉微觀液滴實際形狀，采用數字流量計對注入高壓氣體計量。液滴實驗先采用小氣量實驗，然后加大注氣量，待注入液體使井底積液實現穩定不再增長，這時的注氣量即為臨界產量，同時觀察并記錄壓力傳感器的數據，該數據即為對應井口壓力值。觀察數字溫度計數據，得到該組實驗對應的井口溫度。實驗發現在低壓條件下，液滴最小為1 mm，液滴合并最大為4～5 mm，運動液滴近似為橢球體的形狀，高寬比約為0.9。且實際氣流中液滴會由于力矩的不平衡出現翻滾從而減小有效迎流面積。采用相同的條件，計算氣井攜液臨界流量與實驗數據對比，如圖8所示。從圖中可知，在相同條件下計算攜液臨界流量，Turner公式系數為6.6，李閩公式系數為2.5。與實驗數據相比，Turner公式計算的結果偏大，而李閩公式計算結果偏小?？紤]液滴尺寸為4.5 mm、變形后高寬比為0.9時，新模型公式系數為4.75，與實驗數據吻合最好。

圖8模型預測與實驗數據對比

7、結論

（1）建立了考慮界面張力、液滴尺寸和液滴變形影響的攜液臨界模型。模型首先通過分段擬合界面張力實驗數據，建立界面張力公式，然后引入變形液滴曳力系數公式及液滴變形程度和液滴尺寸之間的關系式，得到更加符合實際的攜液臨界流量模型。

（2）界面張力隨壓力和溫度變化，壓力越大、溫度越高，氣水界面張力越?。粴怏w相對密度越大，氣水界面張力越小。當壓力和溫度分別為0～40 MPa和20～200℃時，界面張力范圍為30～75 mN/m，考慮界面張力影響的攜液臨界流量比界面張力為常數時的計算精度要高。

（3）液滴尺寸和變形對攜液臨界流量影響較大。當液滴特別小時，液滴在壓差下基本不發生形變，液滴基本呈球形，曳力系數近似0.44；隨著液滴直徑越大，液滴越容易變形，液滴高寬比越小，曳力系數越大，攜液臨界流速變小?？紤]了液滴尺寸和液滴變形影響的新模型與實驗數據吻合良好。